norという単語を目にした場合、反射的に「…もまた～ない」という意味を思い浮かべる方が多いかと思います。それで正解です。一方、「eitherにも「…もまた～ない」という意味があるんじゃなかったっけ？」と思う方もいるかもしれません。それも正解です。
以上は多くの方が思いつくかもしれませんが、nor, either, neither（norと一緒によく用いられますね）それぞれの使い方について、正確に説明できますか？本エントリーではそれらについて整理します。
※nor, either, neitherは、深掘りすると、かなり細かい事項も出てきます。以下では「…もまた～ない」に関する主な意味・用法を中心に、主に基本事項について解説します。
nor
接続詞で、「AもBも…ない」「…もまた～ない」の意味を表します。以下のパターンがあります。
1. （neither または not と相関的に用いて）AもBも…ない
He neither drinks nor smokes. （彼は酒も飲まなければたばこも吸わない。）
She is neither tall nor short. （彼女は背が高くも低くもない。）
※「either A or B （AかBのどちらか）の否定文と同義」です。
He doesn’t either drink or smoke. （“He doesn’t drink or smoke.”も可）
She isn’t either tall or short. （“She isn’t tall or short. ”も可）
※上の見出しに「neitherまたはnot」と書きましたが、notとnorが相関的に用いられるケースとは、例えば次のような場合です。
Not a man, a woman, nor a child, is to be seen. （男も女も子供も見えない。『新英和中辞典』研究社, 第7版, 2003年．強調、当サイト管理人）
※マニアック？ですが、neither more nor less than（…というほかはない、まさしく…）という慣用句を紹介しておきます。
It is neither more nor less than absurd for him to try to bribe me. （彼が私を買収しようとするなんてばかばかしいというほかはない。『総解英文法』美誠社，1970年，p．320）
2. （否定の節や文の後に用いて）…もまた～ない
この用法では，norの後に（助）動詞と主語の倒置が起きます。
He hasn’t arrived, nor has his wife. （彼は着いていませんが、奥さんもまだです。）
I never saw him again, nor did I regret it. （私は二度と彼とは会わなかったし、それを悔やみもしなかった。）（『ルミナス英和辞典』研究社, 第2版, 2005年）
→「1.」、「2.」それぞれの見出しに書いたとおり、上の例では、neitherやnotと一緒に用いたり、否定の節・文の後に用いて、norは「…もまた～ない」などの意味を表しています。したがって、ある問題文が意味のうえで否定的な内容であっても、上の形に該当しなければ、norを選ぶべきではありません。
Lack of money made it difficult for him to buy food or drink. （お金がなかったので、食べ物や飲み物を買うのは彼には難しかった。）
もしこの例でorが空所になっており、選択肢にorだけでなくnorがある場合、意味的にnorを選びたくなるかもしれませんが、そうではなくorが入ります。
either
1．形容詞
Either book will do. （どちらの本でもよい。『ロイヤル英文法』改訂新版，旺文社，2000年，p. 143）
なお、上の場合、Eitherは不定冠詞相当語です。さらに不定冠詞をつけてEither a bookとする必要はありません（そのように書くと誤りです。ただし、下記「3．」のeither A or Bの用法で、たまたまeither a book or a journalなどの形になる場合はあります）。
2．代名詞
Either of the two books will do. （二つの本のどちらでもよい。）
※3つ以上のものについてはanyを用います。当サイト管理人の個人的感覚ですが、このあたり、ややこしいですが、一つ一つ覚えていきましょう。
Any of the three books will do. （三つの本のどれでもよい。）
3．副詞
次に、副詞（either A or Bの用法は接続詞とみなされることもあります）のeitherについて解説します。まずお決まりは，either A or Bで「AかBのどちらか（どちらでも、 いずれかを）」です。もしうろ覚えでしたら、both A and B（AもBも（両方とも））や上記「1．」のneither A nor B（AもBも…ない）など（※）とセットで必ず覚えましょう。
※本エントリーのテーマからはそれますが、各参考書や文法書には、not only A but (also) B （AだけでなくBも）なども載っていますね。
本題に戻ります。副詞のeitherは、否定文で「…もまた～ない」の意味を表すことができます。「…もまた～ない」という日本語だけ暗記しているとnorの用法と混乱して覚えづらいので注意が必要です。例文を見てみましょう。
例1：“I don’t like dogs.” “I don’t either.” （「犬が好きではない。」「私もだ。」）
上の例文の第2文でNorを使いたい場合、“Nor do I.”と言い換え可能です。“Neither do I.”や“Me neither.”, “Me either.”, “Nor I either.” とも言い換え可能です。eitherもnorも「…もまた～ない」の意味を表すわけですが（上の例では「私も好きではない」、「私もそうだ」（※）といった訳になります）、形の違いを押さえたいところです。
※「私もそうだ」は、肯定とも否定とも取れる表現ですが、この場合は否定の意味で「私もそうだ」です。曖昧さをなくしたい場合は「私も好きではない」と訳す方がよいでしょう。
『新英和中辞典』（研究社, 第7版, 2003年）には、norとeitherが同じ文の中で使われる、次の例文も載っています。
例2：“I won’t go.” “Nor I either.” （「私は行きません。」「私も行かない。」）
この例文の第2文は、例1と同様、“I won’t (go) either.”や“Nor will I.”, “Neither will I.”, “Me neither.”, “Me either.” と言い換え可能です。
neither
1. 形容詞で「どちらの…も～でない」
Neither answer is good. （どちらの答えも良くない。）
上の例文からも分かりますが、この用法ではneitherは単数名詞を修飾します。日本語だけで考えると、「「どちらも…ない」なのに単数名詞なの？」と混乱しやすいので注意が必要です。
さらに、上の例文のような場合、“Either answer is not good.”とは言わない、という点にも注意が必要です（2023.08.28追記：この点は『新英和中辞典』（研究社, 第7版, 2003年）を参照して書きました。ところがネットを検索すると、上の言い方はけっこうたくさんヒットします。本来の正しい英語とはいえないが、現在、実際は用いられる場合もある、といったところでしょうか）。
2. 代名詞で「どちらも…でない」
I believe neither of the stories. （どちらの話も私は信じない。）
bothの対極（※）であるといえます。上の例文は、“I believe both of the stories.”と正反対の意味になります。“I don’t believe either of the stories.”といってもいいです。似たようなことを上にも書きましたが、当サイト管理人の個人的感覚では、このあたり、ややこしいというか大変ですが、一つ一つ覚えていきましょう。
※『ロイヤル英文法』（改訂新版，旺文社，2000年，p. 230）は「neitherはbothの否定である」としています（同旨、『英文法解説』改訂3版，金子書房，1991年，p．67）。一方、『新マスター英文法』（聖文新社，2008年，p．176）は「neitherはeitherの否定である」としています（同旨、『総解英文法』美誠社，1970年，p．153）。この点に関しては、後者が正しいように思います。both（両方とも）を否定するには、両方とも否定する必要は必ずしもなく、少なくとも一方を否定すればよいからです。それに対して、either（どちらか一方）は、「どちらも…ない」と指摘されれば、否定されます。つまり「neitherはeitherの否定である」が正確な解説のように思います。
3. 副詞（3.1は接続詞と見なされることもあります）
3.1 （norと相関的に用いて）AもBも…ない
→これについてはnorの箇所を参照してください。
3.2 （否定の文や節のあとに用いて）…もまた～ない
eitherの箇所で既にチラッと登場していますが、「neither＋be（助）動詞＋主語」の順になります。例を示せば次のとおりです。
“I’ve never been to Germany.” “Neither have I.” （「私はドイツへ行ったことがありません。」「私もありません。」）
“I can not dance well.” “Neither can I.” （「うまく踊れないよ。」「私もだよ。」）
上の例の第1文は，“Nor have I.”や“I haven’t either.”, “Me neither.”, “Me either.”, “Nor I either.”と言い換え可能です。第2文は、“Nor can I.”や“I can’t either.”, “Me neither.”, “Me either.”, “Nor I either.”と言い換え可能です。